Optymalizacja wielokryterialna
Dla modelu optymalizacyjnego w którym, wskaźnikiem nie jest pojedyncza liczba tylko \(N\) wartości liczbowych w postaci wektora \(K=<k_1,k_2,\cdots ,k_N>\) konieczne jest jednoznaczne zdefiniowanie funkcji oceny osiągnięcia celu \(E_a\)
\(K=<k_1,k_2,\cdots ,k_N>\) - wektor liczbowy, gdzie: \(k_n=f_n(a,x)=f_n(x)\), \(f_n:\Omega (a)\rightarrow \mathbb{R}\)
$$F(\Omega)=F(\Omega(a))=W(a)=\left \{ <f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_N(x)>\in \mathbb{R}^N:x\in \Omega(a) \right \}$$
\(F(\Omega)\) - przestrzeń kryterialna (przestrzeń ocen),
Metoda Pareto
Niech \(K^{'},K^{''}\in F(\Omega)\)
Dominacja w sensie Pareto
Mówimy, że \(K^{'}\) dominuje \(K^{''}\) i oznaczamy symbolem \(K^{'} \Upsilon K^{''}\), jeśli \(K^{'} \neq K^{''} \wedge \forall n=\overline{1,N}:k_n^{'}\geq k_n^{''}\)
Element dominujący
Element \(K^{'}\in f(\Omega)\) nazywamy dominującym, jeśli \(\forall K \neq K^{'}: K^{'}\Upsilon K\).
Jeśli element dominujący istnieje, to zbiór \(F^{-1}(K^{'})\subseteq \Omega (a)\) jest zbiorem rozwiązań optymalnych.
Element niezdominowany
Element \(K^{'}\in f(\Omega)\) nazywamy niezdominowanym, jeśli \(\not\exists K \in F(\Omega):K\Upsilon K^{'}\).
Zbiór Pareto - optymalny (rozwiązań niezdominowanych)
Zbiór wszystkich elementów niezdominowanych zbioru \(F(\Omega)\) nazywamy zbiorem Pareto - optymalnym.
$$E_a(K^*)=\left \{\begin{matrix} 1& gdy\: K^{*}\in Y\\ 0& w\; p.p\end{matrix} \right.$$
gdzie: \(Y\subseteq F(\Omega)\) - zbiór wartości Pareto - optymalnych
Metoda porządku leksykograficznego
W tej metodzie przyjmuje się, że wskaźniki w wektorze \(K\) uporządkowane są według "ważności" od \(k_1\) do \(k_N\). Wtedy rozwiązań optymalnych poszukuje się wyznaczając w kolejnych krokach (rozpoczynając od n=1) zbiory:
$$F_n(\Omega )=\left \{ x\in\Omega(a):f_n(x)=\max_{y\in F_{n-1}(\Omega)}f_n(y) \right \}, n=\overline{1,N},F_0(\Omega)=\Omega(a)$$
aż:
- dojdziemy do zbioru \(F_N(\Omega)\)
- wyznaczony w kroku \(i<N\) zbiór \(F_i(\Omega)\) będzie zbiorem jednoelementowym, wtedy \(F_N(\Omega)=F_i(\Omega)\)
Tak wyznaczony zbiór \(F_N(\Omega)\), będzie zbiorem rozwiązań optymalnych.
$$E_a(K^*)=\left \{\begin{matrix} 1& gdy\: \forall_{n=\overline{1,N}}k^*_n=\max_{x\in F_{n-1}(\Omega)}f_n(x)\\ 0& w\; p.p\end{matrix} \right.$$
Metoda kompromisu (sumy ważonej)
W tej metodzie wektor \(<k_1,k_2, \dots , k_N>\) zastępuje się liczbą:
$$ R=\sum_{n=1}^{N}\mu _n\cdot k_n$$
Gdzie: \(\mu_n\) - waga przyporządkowana wskaźnikowi \(n\), przyjmje się, że wagi i wskaźniki są znormalizowane i dodatnie.
$$E_a(K^*)=\left \{\begin{matrix} 1& gdy\: \sum_{n=1}^{N}\mu _n\cdot k_n^*=\max_{x\in\Omega(a)}\sum_{n=1}^{N}\mu _n\cdot k_n \\ 0& w\; p.p\end{matrix} \right.$$
Metoda punktu idealnego
Niech \(K^{max}=<k_1^{max},k_2^{max},\dots ,k_N^{max}>\) oznacza tzw. punkt idealny w którym \(k_n^{max}=\max_{x \in \Omega(a)} f_n(x)\) , oraz \(K^{max}-K=<k_1^{max}-k_1,k_2^{max}-k_2,\dots ,k_N^{max}-k_N>\)
$$E_a(K^*)=\left \{\begin{matrix} 1& gdy\: \left \| K^{max}-K^* \right \|=\min_{K\in F(\Omega)}\left \| K^{max}-K \right \| \\ 0& w\; p.p\end{matrix} \right.$$
Stosowane normy:
- z parametrem \(p\) $$\left \| K \right \|=\left ( \sum_{n=1}^{N}{\left | k_n \right |}^p \right )^{1/p}$$
- euklidesowa, \(p=2\)
- norma maximum $$ \left \| K \right \|=\max_{n=\overline{1,N}}{\left | k_n \right |} $$
- norma uliczna $$\left \| K \right \|=\sum_{n=1}^{N}{\left | k_n \right |} $$
