Planowanie produkcji

Przedstawiony poniżej model dotyczy zagadnienia planowania produkcji z zakładzie przy następujących założeniach:

• zakład produkuje określoną liczbę produktów z określonej liczby surowców
• zużycie ilościowe poszczególnych surowców na każdy z produktów jest znane
• zakład posiada określone (ograniczone) zasoby każdego z surowców przeznaczonych na produkcje
• zakład posiada określone (ograniczone) zasoby magazynowe na wyprodukowany towar
• produkty sa na tyle jednorodne, że zasoby magazynowe potrzebne na towar mają charakter objętościowy
• sprzedaż rozpoczyna się dopiero po całkowitym zakończeniu produkcji
• zakład ma podpisane zamówienia na określoną ilość każdego z produktów
• zakład zna maksymalne zapotrzebowanie rynku na każdy z produktów
• jednostkowe koszty produkcji są znane, a ceny sprzedaży z góry ustalone
• plan produkcyjny zakłada wypełnienie zamówień, racjonalną produkcję z punktu widzenia zapotrzebowania rynku oraz wypracowanie maksymalnego zysku

Wyodrębnione cechy:

\(P\) - liczba rodzajów produktów (\(P \in \mathbb{Z}_+\)), \(S\) - liczba rodzajów surowców (\(S \in \mathbb{Z}_+\))
\(M_i\) - ilość dostępnego surowca typu \(i, M_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,S}\)
\(m_i^j\) - ilość surowca typu \(i\) potrzebna do produkcji jednostki produktu typu \(j, m_i^j \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,S},j=\overline{1,P}\)
\(V\) - ilość dostępnego miejsca w magazynie, \(V \in \mathbb{R}_+\)
\(V_i\) - ilość miejsca zajmowanego przez jednostę produktu typu \(i, V_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,P}\)
\(Z_i\) - minimalna ilość produktu typu \(i\) jaką zakład musi wyprodukować (wynikająca z zamówień) , \(Z_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,P}\)
\(L_i\) - maksymalna ilość produktu typu \(i\) jaką zakład powinien wyprodukować (wynikająca z zapotrzebowania) , \(L_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,P}\)
\(K_i\) - koszt jednostkowy produkcji produktu typu \(i, K_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,P}\)
\(C_i\) - jednostkowa cena sprzedaży produktu typu \(i, C_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,P}\)
\(X_i\) - ilość wyprodukowanego produktu (planowana do produkcji) typu \(i, X_i \in \mathbb{R}_+ , i=\overline{1,P}\)
\(Z\) - całkowity zysk z produkcji, \(Z \in R_+\)

Wodrębnione relacje

\(r_1\) - w zagadnieniu rozpatrywane są tylko takie produkty, które są rentowne z punktu widzenia kosztów produkcji i cen sprzedaży
\(Y_1=\left \langle P,\left \{ c_i \right \}_{i=1}^P ,\left \{ k_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
$$R_1=\left \{\left \langle p,\left \{ a_i \right \}_{i=1}^p ,\left \{ b_i \right \}_{i=1}^p \right \rangle \in\mathbb{Z}_+\times \mathbb{R}_+^{2\cdot p}:\displaystyle\mathop{\Large{\forall}}_{ j=\overline{1,p}} a_j\geq b_j\right \}$$
\(r_2\) - plan produkcji musi brać pod uwagę ilość dostępnego surowca
\(Y_2=\left \langle P,S,\left \{ M_i \right \}_{i=1}^S, \left \{ \left \{ m_i^j \right \}_{i=1}^S \right \}_{j=1}^P,\left \{ X_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
$$R_2=\left \{\left \langle p,s,\left \{ N_i \right \}_{i=1}^s, \left \{ \left \{ n_i^j \right \}_{i=1}^s \right \}_{j=1}^p,\left \{ x_i \right \}_{i=1}^p \right \rangle \in\mathbb{Z}_+^2\times \mathbb{R}_+^{s+s\cdot p+p}:\displaystyle\mathop{\Large{\forall}}_{ i=\overline{1,s}} \sum_{j=1}^{p}(x_j\cdot n_i^j)\leq N_i\right \}$$
\(r_3\) - plan produkcji musi brać pod uwage mozliwości magazynowe dla przechowania towaru
\(Y_3=\left \langle P,V,\left \{ V_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ X_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
$$R_3=\left \{ \left \langle p,v,\left \{ v_i \right \}_{i=1}^p,\left \{ x_i \right \}_{i=1}^p \right \rangle \in \mathbb{Z}_+^2\times \mathbb{R}_+^{2\cdot p}:\sum_{i=1}^{p}x_i\cdot v_i\leq v \right \}$$
\(r_4\) - plan produkcji powinien zapewnić zrealizowanie zamówień
\(Y_4=\left \langle P,\left \{ Z_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ X_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
$$R_4= \left \{ \left \langle p,\left \{ z_i \right \}_{i=1}^p,\left \{ x_i \right \}_{i=1}^p \right \rangle \in \mathbb{Z}_+\times \mathbb{R}_+^{2\cdot p}:\displaystyle\mathop{{\forall}}_{ i=\overline{1,p}}x_i\geq z_i \right \}$$
\(r_5\) - plan produkcji powinien uwzględnić zapotrzebowanie rynku
\(Y_5=\left \langle P,\left \{ X_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ L_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
$$R_5= R_4$$
\(r_6\) - zysk, wyznaczany na podstawie całkowitej wartości sprzedaży pomniejszonej o całkowite koszty produkcji (przy założeniu, że sprzedany zostanie wszystki wyprodukowany towar)
\(Y_6=\left \langle P,Z,\left \{ X_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ C_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ K_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
$$R_6=\left \{ \left \langle p,z,\left \{ x_i \right \}_{i=1}^p,\left \{ c_i \right \}_{i=1}^p,\left \{ k_i \right \}_{i=1}^p \right \rangle \in \mathbb{Z}_+\times \mathbb{R}_+^{3\cdot p+1}:z=\sum_{i=1}^{p}x_i\cdot \left ( c_i-k_i \right ) \right \}$$

Model matematyczny

$$\left \langle \overset{o}{X}, \overset{o}{R} \right \rangle$$
Gdzie:
$$\overset{o}{X}=\left \{\begin{matrix} \left \langle P,\mathbb{Z}_+ \right \rangle ,\left \langle S,\mathbb{Z}_+ \right \rangle ,\left \{ \left \langle M_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^S,\left \{\left \{ \left \langle m_i^j,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^S \right \}_{j=1}^P , \\ \left \langle V,\mathbb{R}_+ \right \rangle ,\left \{ \left \langle V_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^P,\left \{ \left \langle Z_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^P,\left \{ \left \langle L_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^P, \\  \left \{ \left \langle C_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^P,\left \{ \left \langle K_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^P,\left \{ \left \langle X_i,\mathbb{R}_+ \right \rangle \right \}_{i=1}^P,\left \langle Z,\mathbb{R}_+ \right \rangle \end{matrix} \right \}$$
$$\overset{o}{R}=\left \{  \left \langle r_1,Y_1,R_1 \right \rangle ,\left \langle r_2,Y_2,R_2 \right \rangle ,\left \langle r_3,Y_3,R_3 \right \rangle ,\left \langle r_4,Y_4,R_4 \right \rangle ,\left \langle r_5,Y_5,R_5 \right \rangle ,\left \langle r_6,Y_6,R_6 \right \rangle \right \}$$

Model optymalizacyjny

$$<a,x,w,A,\Omega (a),W(a,x),E_a>$$
Gdzie:

\(a=\left \langle P,S,\left \{ M_i \right \}_{i=1}^S,\left \{ \left \{ m_i^j \right \}_{i=1}^S \right \}_{j=1}^P,V,\left \{ V_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ Z_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ L_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ C_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ K_i \right \}_{i=1}^P\right \rangle\)
\(x=\left \langle \left \{ X_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle\)
\(w=Z\)
\(A=\left \{\begin{matrix} \left \langle P,S,\left \{ M_i \right \}_{i=1}^S,\left \{ \left \{ m_i^j \right \}_{i=1}^S \right \}_{j=1}^P,V,\left \{ V_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ Z_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ L_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ C_i \right \}_{i=1}^P,\left \{ K_i \right \}_{i=1}^P\right \rangle  \\ \in \mathbb{Z}_+^2\times \mathbb{R}_+^{S+S\cdot P+1+5\cdot P}:\displaystyle\mathop{\Large{\forall}}_{ j=\overline{1,P}} C_j\geq K_j \end{matrix}  \right \}\)
\(\Omega\left ( a \right )=\left \{ \begin{matrix} \left \langle \left \{ X_i \right \}_{i=1}^P \right \rangle \in \mathbb{R}_+^{P}: \displaystyle\mathop{\Large{\forall}}_{ i=\overline{1,S}} \sum_{j=1}^{P}(X_j\cdot m_i^j)\leq M_i \wedge \sum_{i=1}^{P}X_i\cdot X_i\leq X \\ \wedge \displaystyle\mathop{{\forall}}_{ i=\overline{1,P}}X_i\geq Z_i \wedge \displaystyle\mathop{{\forall}}_{ i=\overline{1,P}}L_i\geq X_i \end{matrix}  \right \}\)
\(W\left ( a,x \right )=\left \{ Z \in \mathbb{R}_+:Z=\sum_{i=1}^{P}X_i\cdot \left ( C_i-K_i \right ) \right \}\)
$$E_a\left ( y \right )=\left\{\begin{matrix} 1 & y=\max {\left \{ \bigcup_{x \in\Omega\left ( a \right )}W\left ( a,x \right ) \right \}}\\ 0 & w\: p.p \end{matrix}\right.$$

Model optymalizacyjny (dla zadania maksymalizacji)

$$<a,x,A,\Omega (a),f>$$
Gdzie:

$$f\left ( a,x \right )=\sum_{i=1}^{P}X_i\cdot \left ( C_i-K_i \right )$$