Model optymalizacyjny

Jeśli skonstruowany model matematyczny dotyczy problemu znalezienia rozwiązania optymalnego, można model matematyczny przekształcić do postaci ułatwiającej sformułowanie zadania optymalizacyjnego:

$$<a,x,w,A,\Omega (a),W(a,x),E_a>$$

gdzie:

\(a\) - lista danych, \(x\) - lista zmiennych decyzyjnych, \(w\) - lista wskaźników,

\(A\) - zbiór możliwych wartości danych, \(\Omega (a)\) - zbiór dopuszczalnych wartości zmiennych decyzyjnych dla danych \(a\), \(W(a,x)\) - zbiór przewidywanych wartości wskaźników dla danych \(a\) i zmiennych decyzyjnych \(x\),

\(E_a\) - funkcja oceny osiągnięcia celu,

$$E_a:W(a,x)\rightarrow \left \{ 0,1 \right \}$$

Zadanie optymalizacyjne

Dla danych \(a\in A\)
wyznaczyć takie \(x^* \in \Omega (a)\)
tak, aby $$\displaystyle\mathop{\Large{\forall}}_{ y\in W(a,x^*)} E_a(y)=1$$

Zadanie maksymalizacji

Dla dużej grupy problemów optymalizacyjnych liczba wskaźników a tym samym zbiór \(W(a,x)\) będzie ograniczony do jednej wartości (skalara bądź wektora). W większości dla takich problemów można zadanie optymalizacji sprowadzić do zadania extremalizcji (np: maksymalizcji) wartości wskaźnika. Można to osiągnąć zastepując funkcję oceny osiągnięcia celu \(E_a\) tzw. funkcją celu \(f\). Wtedy postać modelu będzie następująca :

$$<a,x,A,\Omega (a),f>$$

gdzie:

\(f\) - funkcja celu(z zalożeniem, że ostateczna wartość "wskaźnika" będzie wartością rzeczywistą)

$$f:A\times \Omega (a)\rightarrow \mathbb{R}$$

Wtedy zadanie optymalizacyjne można sformułować następująco:

Dla danych \(a\in A\)
wyznaczyć takie \(x^*\in\Omega(a)\)
tak, aby $$f(a,x^*)=\max_{x\in \Omega (a)}f(a,x)$$